Schlenkサーベイ-Fine Structure-その1 - 数学で英語を勉強するブログ

こんにちは！GiTaNです！

今日はシンプレクティック埋め込みの3つ目の結果である the fine structure of symplectic rigidity（長いのでFine Structureと略しています）について見ていくための準備をします！

◆Fine Structure

今回考える埋め込みは、Ellipsoid $E(1,a)$ を Cube $C(A)$ に埋め込む問題です。つまり次の関数を具体的に書いたらどうなるか考えることになります：

$c_{EC}(a)=\inf\{A|E(1,a)\hookrightarrow C(A)\}.$

結果を書き下すのに必要になってくるのが、次で定義されるPell numbers $P$ およびhalf companion Pell numbers $H$ という数列です：

$P_0=0$ , $P_1=1$ , $P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}$ , $H_0=1$ , $H_1=1$ , $H_n=2H_{n-1}+H_{n-2}$ .

Wikipedia にも詳しい記事がありました。【参考：Pell number - Wikipedia】

どうやら隣接する項の比がシルバー比 $\sigma = 1+\sqrt{2}$ に収束していくようなフィボナッチ数列的な数列みたいですね。

ここで、次の数列 $\gamma$ を考えます：

$(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\cdots)=(\frac{P_1}{H_0},\frac{H_2}{2P_1},\frac{P_3}{H_2},\frac{H_4}{2P_3},\frac{P_5}{H_4},\cdots)=(1,\frac{3}{2},\frac{5}{3},\cdots)$ .

このとき、 $\gamma_{2n}=\frac{H_{2n}}{2P_{2n-1}},\gamma_{2n+1}=\frac{P_{2n+1}}{H_{2n}}$ より、 $\gamma_{2n}\gamma_{2n+1}=\frac{P_{2n+1}}{2P_{2n-1}}=\frac{1}{2}\frac{P_{2n+1}}{P_{2n}}\frac{P_{2n}}{P_{2n-1}}$ なので、 $\gamma$ の収束先 $\alpha$ が存在すると仮定すれば*1、 $\alpha^2 = \frac{\sigma^2}{2}$ となり、明らかに $\alpha$ は正なので、 $\alpha = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$ とわかります。