N(a,b)なんか使えないのか！ - 数学で英語を勉強するブログ

こんにちは！GiTaNです！

今日は徒然なるままに数学の話をしましょう笑

前回 McDuff-Schlenkによるellipsoidをballにシンプレクティック埋め込みできるようなballの半径についての定理を知りました。

ここで、ざっと復習をすると $N(a,b)$ という $a$ と $b$ の非負整数上の線形和を重複を許して小さい順にならべた数列についての大小関係がellipsoid $E(a,b)$ たちが互いにシンプレクティック埋め込み可能であるかのCriterionになっていたのでした。

この時、 $N(1,a)$ の一般項を書き下そうと思うと、非常に難しくてなんかモヤモヤした状態になるのですが、これが $N(c,c) = \{c\cdot\lfloor\frac{-1+\sqrt{8k+1}}{2}\rfloor|k = 0,1,2,\cdots\}$ で、Strictに上から押さえられるような $c$ のギリギリの境界値 $f(a)$ が明示的にわかるよ！というのがMcDuff-Schlenkのやったことでした。

この定理、シンプレクティック埋め込みの文脈じゃなくても結構面白いと思うのですが、原論文を見てみると、証明はシンプレクティック幾何的というよりは、初等整数論・組み合わせ論的な証明になっているように見えます。

つまり、代数をつかって代数の定理を示していて、結果が埋め込みにも関係しているという構図になっています。
同様に他のことがわかったりしないか？というのが、タダ乗り精神あふれる感じで好きなのですが、どうでしょうか？笑

例えば、 $a$ をFixして、 $N(1,a)$ のk番目の項 $N_k(1,a)$ を一つとった時に、これを $a$ の関数 $F(a,k)$ だと思って、 $a$ を少し( $\epsilon$ )だけ増やすと $F(a+\epsilon,k)$ は $N(1,a+\epsilon)$ の中では、k番目の項ではないかもしれないしk番目の項のままかもしれませんが、 $\epsilon$ を増やしていくとどこかで順番が変わりますよね。（どれだけ小さい $\epsilon$ でも十分大きいkでは順番は入れ替わるでしょうね。）この時の入れ替えの群とかが、 $\epsilon$ を変えた時にどう変わっていくか？とかは趣味としては難しすぎるかな〜。誰も興味持ってないと思うので、学問的にも無価値ですかね笑