Schlenkサーベイ-Total Flexibility-その1 - 数学で英語を勉強するブログ

こんにちは！GiTaNです！

年末のゴタゴタもひと段落し、今日から有給休暇となりました！子供のお世話は私担当ということで頑張っていきたいと思います。子供がインフルエンザとかにならないといいなぁ

Schlenkのサーベイを読んでいきたいと思います。

今回は、シンプレクティック埋め込みに関する3つの2つ目であるTotal Flexibilityについて紹介していきます。

◆Total Flexibility

ここでは、Ellipsoid $E(1,a)$ をTorus $T^4(A)$ に埋め込む問題を考えていきます。

結論からいってしまうと、体積以外の障害はないというのが結果になります。

つまり以下が成立します：

$E(1,a)\hookrightarrow T^4(A) \Leftrightarrow$ Vol $(E(1,a))$ is less than Vol $(T^4(A)).$

シリンダーに埋め込む場合は一切縮まなかったあいつが！トーラスさんには埋め込まれるなんて！みたいな衝撃がありますね。

ちなみに、Vol $E(1,a) = \frac{a}{2}$ 、Vol $T^4(A) = A^2$ だと思うので、 $c_{ET}(a) = \sqrt{\frac{a}{2}}$ になりますね。こういう観点だとTotal Rigidity と同じくあまり構造がないようにも見えます。

この現象の原因は、トーラスさんへの概正則曲線がない（＝障害がないっていう）ことだとSchelnkさんは述べていますが、これについてはセクション9を見よとのことなのでしばらく先になりそうです。

次回は最後の1つ fine structure of symplectic rigidity について見ていこうと思います！