Schlenkサーベイ - 4. Why study symplectic embedding problems その3
こんにちは!GiTaNです!
さて前回は Hamiltonian flow を導入しました。Hamiltonian flowに対して、ある関数が存在してを満たすので、となります。つまり、シンプレクティック形式を保つため、Hamiltonian flowは、各時点でsymplectomorphismになっています。
ということは、GromovのNon-sqeezing theorem から半径のボールをシリンダーにHamiltonian flowで入れ込もうと思うと半径が以上じゃないといけないことがわかります。これを物理学的にとらえてみると、物理でよく聞くハイゼンベルグの不確定性原理ライクな表現が得られます。
ざっくりなのですが、不確定性原理とはものの位置と速度を観測したときに、それらの正確さが互いにトレードオフになっているということでした。例えば位置をめちゃめちゃ正確に観測しようとすると速度の誤差を小さくできない、速度をめちゃめちゃ正確に観測しようとすると位置の誤差を小さくできないということです。*1
これは、シンプレクティック多様体が典型的には接束(つまり速度と位置の組みの集合)であることに注意すると、ある点が多様体上のどこにあるかわからず、を含む領域のみがわかっているという風に表現できます。(誤差が小さいほど領域は小さくなる)
これが、Hamiltonian flow つまり物理的に実現できる操作によって縮んで行かないわけなので観測誤差はどうやっても減らせないということになります。
なんとなく不確定性原理っぽい!
次回は、そういう領域がHamiltonian flowでどのように振る舞うのか?見ていきたいと思います。
以上!