Schlenkサーベイ - 4. Why study symplectic embedding problems その2

こんにちは！GiTaNです！

いつの間にか2月になってしまいました。今日も元気よくSchlenkのサーベイを読んでいきましょう。

今日のテーマは↓
◆What can one do with a Hamiltonian flow?
ということで、シンプレクティック同相の一種であるHamiltonian flowで領域を変形した場合の結果についてザクっと見ていきます。

そもそもHamiltonian flowって何でしょうか？
説明を試みると、flowというのは日本語で言うと積分曲線ということで、何らのベクトル場が多様体上にあったときに、これに沿うように点を動かしていく写像ということになります。これは時間に依存して変化していく写像で、例えばベクトル場 $X$ の時刻 $t$ での積分曲線 $\phi_t$ は多様体上の点 $p$ で任意の滑らかな $f$ について次を満たすものです：

$\frac{d}{dt}|_{t=t}f(\phi_t(p))=X_{\phi_t(p)}(f)$ .

以下では（時間に依存するかもしれない）ベクトル場 $X$ に対して、その積分曲線を $\phi_X$ と書くことにします。（時点を明記したい時は $(\phi_X)_t$ と書くことにしましょう。変えるかもしれません笑）

このflow $\phi_X$ のうち、シンプレクティック形式 $\omega$ について、次を満たす多様体上の関数 $H$ がある時にHamiltonian flowと呼びます：

$\iota_X\omega = -dH$ .

ここで、 $\iota$ は内部積を表します。

なんでHamiltonianと言うかというと、私も詳しくは知らないのですが、もともと大学１年生の物理で習う解析力学という分野のハミルトン力学というのが元になっています。
Wikipediaの記事の $p$ と $q$ によってシンプレクティック形式を $dp\wedge dq$ 、ベクトル場を $X=\dot{p}\frac{\partial}{\partial p}+\dot{q}\frac{\partial}{\partial q}$ と書いた場合にちょうどハミルトン方程式が上の式になるので、そういう力学を多様体の上に一般化したものというように捉えることができます。