Schlenkサーベイ - 4. Why study symplectic embedding problems その4

こんにちは！GiTaNです！

今日のテーマは、Short term super-recurrence です。*1

$H$ を時間に依存することも可能な Hamiltonian System として、さらに半径1のボール $B^{2n}(1)$ を保つようなものとします。つまり、 $H$ から $\iota_{X_H}\omega=-dH$ によって定義されるベクトル場 $X_H$ が、ボールの境界（＝球面）に接している（つまり、球面上に制限したものが球面上のベクトル場とみなせる）とします。

このとき、時点tのHamiltonian flow $\phi_H^t$ はボール上のHamiltonian diffeoを定義していますが、ここで次の問題を考えます：

離散的な変形の列 $\{\phi_H^k\}_{k\in \mathbb{Z}}$ によって、ボール $B(a)$ （ただし、 $a$ > $\frac{1}{2}$ とする）とシンプレクティック同相な開集合 $U$ の像の列 $\{\phi_H^k(U)\}_{k\in \mathbb{Z}}$ を作ったときに、 $U \cap \phi_H^k(U) \neq \emptyset$ となる最小の $k$ はなにか？

つまり、 $U$ を $\phi_H$ で何回も写していった時に、いつ $U$ と被りますか？

っていうことなんですが、シンプレクティック同相が体積を不変にすることを考えると $U$ の体積は仮定より $\frac{1}{2^n}$ より大きいので、 $U$ の $2^n$ 回目までの像 $U,\cdots,\phi_H^{2^n}(U)$ たちは、それぞれが $\frac{1}{2^n}$ よりも大きい体積を持つので、これらが全て重複しないとすると、 $U,\cdots,\phi_H^{2^n}(U)$ たちの体積の合計が全体の体積を超えてしまうので、どっかでは被ってることになります。ハトの巣原理みたいな感じで $k$ は $2^n-1$ 以下であることが分かるわけなんですが、実はGromovによって次の結果が得られています：

$B(a)\coprod B(a)\hookrightarrow B(A) \Rightarrow 2a\leqq A$ .

これによると、 $a$ > $\frac{1}{2}$ と仮定している場合は、 $B(a)$ を被らないように $B(1)$ へ2つ埋め込むことはできないことになるので、 $U\cap\phi_H(U)\neq \emptyset$ になり $k=1$ とわかります。

体積だけだと指数オーダーだった $k$ の評価が、正確にわかっただけでなく1ってやばない？？？？？

同様にして１回目に被りが発生するような $k$ を体積が有限な領域について考えることで、Volume preserving diffeo と symplectomorphism の境界を考えることができるようになりますが、2,3,4, $\cdots$ と回数を増やしていくと、いつの間にか埋め込みの自由度が増してきて、 $n$ 個の領域がすっぽり入るようになるようです。そういえば、4次元のボールの場合は、8個から隙間なく被覆されるようになりましたね。マジかよ。