Schlenk サーベイ - 数学で英語を勉強するブログ

こんにちは！GiTaNです！

今日は、下記のSchlenkのサーベイを読んでいきたいと思います。

F.Schlenk - SYMPLECTIC EMBEDDING PROBLEMS, OLD AND NEW

https://www.ams.org/journals/bull/2018-55-02/S0273-0979-2017-01587-X/S0273-0979-2017-01587-X.pdf

Schlenk といえば今まで散々話題にしてきたMcDuff-Schlenkの定理のSchlenkです。当初気になっていたECH(embedded contact homology)よりも $N(a,b)$ という量が気になりすぎてSchlenkのサーベイを読んでみることにしました！（趣味の数学は自由でいいですね笑）

このサーベイでは、シンプレクティック埋め込みを研究する意義を古今東西の結果を紹介しながら考えていくということのようです。どういったモチベーションでドライブされてきたのでしょうか？

Introduction
- まず、「4次元立方体にボールをいくつかシンプレクティック埋め込みした時に、満たされる体積の比率は？」という問題を紹介しています。埋め込むボールは、1個でもいいし、k個でも構いませんが、全て同じ半径を持っているものとします。各kについて最大の比率を表にしたものが以下です：
  
  k 1 2 3 4 5 6 7 $\geqq$ 8
  
  比率 $\frac{1}{2}$ 1 $\frac{2}{3}$ $\frac{8}{9}$ $\frac{9}{10}$ $\frac{48}{49}$ $\frac{224}{225}$ 1
  
  ふーん・・・という感じで、まったく証明が思いつかないのですが、この問題を理解しどういったポイントがシンプレクティックぽいのかということをこれから見ていくようです。
そして、Schlenkはシンプレクティック幾何学は古典力学から発生したものだが、今に至っては全ての幾何学および数論や組み合わせ論とも関係するかなりミステリアスな対象だよねということを述べています。件の $N(a,b)$ などはこのいい例でしょう。
さらに、GromovのNon-squeezing Theoremに見られるように、埋め込みの問題というのはシンプレクティック幾何学の重要な問題であり、他分野との繋がりをもたらす問いでもあるようです。