【その他ルール】Introductionその4 - 数学で英語を勉強するブログ

こんにちは！GiTaNです！

仕事が盛り上がってしまって更新できませんでした！

はい、というわけで今日もサンプリングに勤しんでいきたいと思います。

以下のレクチャーノートを参考にします。

[1303.5789] Lecture notes on embedded contact homology

まあ、ただ読みたいだけなんですが笑

知りたいことが知れたら次に行こうと思いますが、細かめにサマっていく感じになると思います。

タイトル：Lecture notes on embedded contact homology
著者：Michael Hutchings
ページ数：84ページ（Abstruct + Introduction 15ページ）
Introduction の構成（複数段落を意味の切れ目でサマリーし記載）
1. 四次元シンプレクティック多様体の埋め込み可能性の問題に対するECH(embedded contact homology)の応用例をまず説明しつつ、ECHの基本的な構造を俯瞰してくことを説明*1
2. シンプレクティック多様体の埋め込み可能性の問題は、例えば ellipsoid $E(a,b)$ *2や polydisk $P(a,b)$ *3の場合でも、非自明な問題である。
3. この種の問題で、最初に示されたのが Gromov の non-squeezing theorem で、ball $B(r) = E(r,r)$ が、cylinder $P(R,\infty)$ にシンプレクティック埋め込み可能である必要十分条件が $r \leqq R$ となることであることを明らかにしている。これは1985年の定理だが、ellipsoid が他の ellipsoid に埋め込み可能であるための必要十分条件が明らかにされたのは、2010年のことであった。（マジか！）
4. 2010年のMcDuffの定理を述べるために、 $N(a,b)$ という数列を定義する。 $N(a,b)$ は0から始まる a と b の全ての非負の整数による線型結合を小さい順に並び替えたもの。つまり、こういう形の元を $\{am+bn|m,n\in N\}$ 小さい順に重複を許して並べる。例を書くと $N(1,1) = (0,1,1,2,2,2,3,3,3,3,...)$ という風になる。（雰囲気としては, 自然数の partition に似てますね。）
5. McDuffの定理は以下: $E(a,b)$ の内部が $E(c,d)$ にシンプレクティック埋め込み可能である必要十分条件はすべての $k$ について $N(a,b)_k\leqq N(c,d)_k$ となることである。ただし、 $N(i,j)_k$ は $N(i,j)$ の $k$ 番目の元を指す。
長いので、ここで一旦区切りにしようと思いますが、この定理いろいろ想像力を掻き立てられるものがありますね！英語に着目しないといけないのですが笑
明日は気になる英語表現の部分をまとめていきたいと思います！