【その他ルール】Introductionその3
こんにちは！GiTaNです！
今日もサンプリングに勤しんでいきたいと思います。
以下の論文を参考にします。
[1003.0690] Equivariant Homology of Generating Functions and Orderability of Lens Spaces
- タイトル：Equivariant Homology of Generating Functions and Orderability of Lens Spaces
- 著者：Sheila Sandon
- ページ数：22ページ（Abstruct + Introduction 4.5ページ）
- Introduction の構成（複数段落を意味の切れ目でサマリーし記載 ）
- 接触多様体上の接触イソトピーが正(positive)であるということの定義と幾何学的な意味について説明
- 接触同相群の普遍被覆（接触同相の1パラメータ群の端点を固定したホモトピー類の集合、写像の合成で群になる）について、1で導入した"正であること"を利用して、二項関係が定義できることを説明。さらに、この二項関係が半順序になるとき、接触多様体は順序づけ可能(orderable)であると呼ぶことにする。（実は、この二項関係は常に反射的かつ推移的であるので、反対称的であれば半順序となる）
- このような順序づけ可能性が論じられるようになった経緯や順序づけ可能性についての先行研究を参考文献を交えて紹介。特に、驚くべき事実として、「奇数次元の実射影空間は順序づけ可能だが、その二重被覆である奇数次元球面は順序づけ不可能であること」、「順序づけ可能性が縮小可能性(squeezing) に関連していること」に言及
- 球面の順序づけ不可能性から、球体の縮小可能性が、逆に縮小可能性から順序づけ可能性が導かれることがあるということを例を交えて説明
- （高次元の）レンズ空間を定義し、これが順序づけ可能であるということを示すための手順について概要を説明。（順序づけ可能でないと仮定すると可縮で正な接触同相群のLoopが存在するはずで、そうすると球体の縮小可能定理の同変版が従うはず、つまり同変版縮小不可能性定理を示せば、順序づけ可能であることがわかる。といった流れ）
- 実はこれが同変接触ホモロジーを用いた先行研究で示されており、筆者はこれを生成関数(generating function)の言葉で再証明し直すことを説明
- 生成関数を用いた接触ホモロジーは、生成関数のレベルセットについての局所ホモロジーとなっていることを紹介
- 論文中の結果を交えて（この辺かなり専門的で読みこなせませんでした）、同変版縮小不可能性定理を示すためには、球体の同変接触ホモロジーを計算する必要があることを説明
- 先行研究での同変でない場合の接触ホモロジー群の計算手法を詳細に説明し、同変な場合では適用できないことを述べる
- 最後に、相対増大度(relative growth)と呼ばれる順序付きの群の元のペアに定まる不変量の研究については今後の課題であることを述べる
- 【Organization】いつもの論文の構成の説明
という内容で、若干長くなってしましました。。。
構成要素は以下でしょうか
- 主要テーマの説明・定式化
- 研究するに至る文脈（Context）
- 先行研究との差異（特に先行結果がすでにあるものを再証明するという内容を含むのでこれはアピールしたいポイントでしょう）
- 今後の課題
以上！
なお、無理やり日本語の用語に変換した部分（カッコ書きで単語を記載した部分）は本当にこういう日本語で浸透しているわけではないので、注意してください！
